Implications
Définition :
Soient deux propositions \(P\) et \(Q\).
La proposition "\(P\) implique \(Q\)", notée \(P \Rightarrow Q\), est la proposition qui est fausse seulement lorsque \(P\) est vraie et \(Q\) est fausse, et vraie dans tous les autres cas.
Exemple :
"Il pleut" \(\Rightarrow\) "La pelouse est mouillée".
Cette proposition est vraie. Il suffit qu'il pleuve pour que la pelouse soit mouillée.
Mais attention, si la pelouse est mouillée, il ne pleut pas forcément. La voisine peut avoir arrosé son jardin et la pelouse sera mouillée.
Attention :
Il est important de bien comprendre cette notion.
S'il pleut alors la pelouse est mouillée.
Mais si la pelouse est mouillée, il est impossible de dire s'il pleut ou non.
Remarque : Plusieurs formulations pour une même notion
\(P \Rightarrow Q\) se lit aussi :
Si \(P\) alors \(Q\)
Il suffit que \(P\) pour que \(Q\)
Il est nécessaire que \(Q\) pour que \(P\)
Il faut que \(Q\) pour que \(P\)
Ainsi, à chaque fois que vous entendez dans le langage courant l'une des formulations précédentes, il s'agit en fait d'une implication entre deux propositions.
Remarque : Négation d'une implication
\(\neg(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow P \land \neg Q\)