Équivalences
Définition :
Soient \(P\) et \(Q\) deux propositions.
La proposition "\(P\) équivaut à \(Q\)", notée \(P\Leftrightarrow Q\), est vraie quand l'implication \(P\Rightarrow Q\) et l'implication réciproque \(Q \Rightarrow P\) sont vraies en même temps.
Remarque :
Autrement dit, \(P\Leftrightarrow Q\) a la même signification que \((P\Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)\).
Donc pour démontrer une équivalence, on utilise souvent la règle de la double implication : on démontre d'abord une implication, puis on démontre son implication réciproque. On en déduit que l'équivalence est vérifiée.
Exemple :
Les deux équations \(x^2-x=0\) et \(x(x-1)=0\) sont équivalentes et on peut donc écrire : \(x^2-x=0 \Leftrightarrow x(x-1)=0\).
\(\ln x < 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[\).
En effet, si \(\ln x < 0\) alors \(x\) est forcément dans l'intervalle \(]0,1[\) et si \(x\in ]0,1[\), alors \(\ln x\) est forcément strictement négatif.
Attention :
Ne confondez pas équivalences et implications.
À chaque fois que vous devez si une équivalence est vraie, vérifiez bien si la double implication est vraie.
Exemple :
(C'est la canicule) \(\Rightarrow\) (Je bois beaucoup) mais (C'est la canicule) \(\not \Leftrightarrow\) (Je bois beaucoup). Pourquoi ?
\(x>5 \Rightarrow x^2>25\) mais \(x>5 \not \Leftrightarrow x^2>25\). Pourquoi ? Comment faudrait-il changer cette proposition pour pouvoir écrire une équivalence ?
Attention :
Le symbole \(\Leftrightarrow\) et le symbole \(=\) ne signifient pas du tout la même chose.
Quand on est en train de faire un calcul, on utilise le symbole \(=\) pour passer d'une étape à l'autre de celui-ci.
Écrire un calcul sous la forme \(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x-2} \Leftrightarrow \frac{x-2+x+1}{((x-1)(x-2)} \Leftrightarrow \frac{2x-3}{(x-1)(x-2)}\) n'est pas correct et n'a aucun sens.
Il faut écrire : \(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x-2} = \frac{x-2+x+1}{((x-1)(x-2)} = \frac{2x-3}{(x-1)(x-2)}\)
Fondamental : Lois de Morgan
Soient \(A\) et \(B\) deux propositions.
\(\neg (A \land B) \ \Leftrightarrow \neg A \lor \neg B\)
\(\neg (A \lor B) \ \Leftrightarrow \neg A \land \neg B\)
Exemple :
"Je ne boirai ni thé ni café". Quelle est la négation de cette propriété ? Quelle loi de Morgan illustre-t-elle ?
Quelle est la négation de "L'entier \(n\) est un multiple de 6" ?