Exercice : Utiliser les lois de Morgan
On considère les deux propositions suivantes :
\(A\) : " Il est grand et a 15 ans ou plus".
\(B\) : "\(\pi >3 \)ou \(\pi \leq 2\)"
Question
Écrire \(\neg A\) et \(\neg B\).
Indice
Écrire \(A\) comme la disjonction de deux événements \(A_1\) et \(A_2\), puis utiliser les lois de Morgan.
Écrire \(B\) comme la disjonction de deux événements \(B_1\) et \(B_2\), puis utiliser les lois de Morgan.
Solution
On pose : \(A_1\) : "Il est grand" et \(A_2\) : "Il a 15 ans ou plus".
La proposition \(A\) est la proposition \(A_1 \land A_2\).
D'après les lois de Morgan, \(\neg A=\neg A_1 \lor \neg A_2\).
Or \(\neg A_1\) est la proposition "Il n'est pas grand" et \(\neg A_2\) est la proposition "Il a moins de 15 ans".
Donc \(\neg A\) est "Il n'est pas grand ou a moins de 15 ans".
On pose : \(B_1\) : "\(\pi >3\)" et \(B_2\) : "\(\pi \leq 2\)".
La proposition \(B\) est la proposition \(B_1 \lor B_2\).
D'après les lois de Morgan, \(\neg B=\neg B_1 \land \neg B_2\).
Or \(\neg B_1\) est la proposition "\(\pi \leq 3\)" et \(\neg B_2\) est la proposition "\(\pi >2\)".
Donc \(\neg B\) est "\(\pi \leq 3 \land \pi >2\)", c'est-à-dire "\(2< \pi \leq 3\)".